பித்தகோரஸ் தேற்றம்: கண்களால் பார்த்து மனதால் கற்கலாம்!
Deepa Maths Academy - உங்கள் கணிதப் பயணத்தின் வழிகாட்டி
வணக்கம் மாணவர்களே! கணிதம் என்றாலே பலருக்கு அலர்ஜி. ஆனால், அதே கணிதத்தை ஒரு ஓவியத்தைப் போலவோ அல்லது ஒரு விளையாட்டைப் போலவோ பார்த்தால் எப்படியிருக்கும்? இன்று நாம் கணித உலகின் மிக முக்கியமான மற்றும் மிக எளிமையான பித்தகோரஸ் தேற்றத்தை (Pythagoras Theorem) வெறும் எழுத்துக்களாக இல்லாமல், காட்சிப் பூர்வமாகப் பார்க்கப் போகிறோம்.
1. பித்தகோரஸ் தேற்றம் என்றால் என்ன?
இந்தத் தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைப் (Right-Angled Triangle) பற்றியது. ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணம் சரியாக 90 டிகிரியாக இருந்தால் அது செங்கோண முக்கோணம்.
[இங்கே ஒரு செங்கோண முக்கோணம் வரைந்து, அதன் அடிப்பக்கம் 'a', குத்துயரம் 'b', சரிவான பக்கம் 'c' எனக் குறிக்கவும்]
இதன் பொருள் என்னவென்றால்: "அடிப்பக்கத்தின் வர்க்கத்தையும், குத்துயரத்தின் வர்க்கத்தையும் கூட்டினால், அது கர்ணத்தின் (Hypotenuse) வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்."
2. ஒரு படத்தின் மூலம் பார்க்கலாம் (The Power of Visualization)
வெறும் $a^2 + b^2 = c^2$ என்று சொன்னால் அது சூத்திரம். ஆனால் அதையே ஒரு சதுரங்களாகப் பார்த்தால் அது ஒரு மேஜிக்!
சதுரங்களின் விளையாட்டு:
முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களிலும் மூன்று சதுரங்களை வரைவதாகக் கற்பனை செய்து பாருங்கள்.
- பக்கம் 'a' மீதுள்ள சதுரத்தின் பரப்பு = $a \times a$
- பக்கம் 'b' மீதுள்ள சதுரத்தின் பரப்பு = $b \times b$
- கர்ணம் 'c' மீதுள்ள சதுரத்தின் பரப்பு = $c \times c$
உதாரணத்திற்கு 3-4-5 விதியைப் பாருங்கள்:
ஒரு பக்கம் 3cm, இன்னொரு பக்கம் 4cm என்றால், கர்ணம் கண்டிப்பாக 5cm ஆகத்தான் இருக்கும்.
ஏனெனில்: $3^2 (9) + 4^2 (16) = 5^2 (25)$
[இங்கே 9 சிறிய கட்டங்கள், 16 சிறிய கட்டங்கள் சேர்ந்து 25 கட்டங்கள் கொண்ட பெரிய சதுரத்தை உருவாக்குவதைக் காட்டும் படம்]
3. நிஜ வாழ்க்கையில் பித்தகோரஸ் தேற்றம் எங்கே பயன்படுகிறது?
மாணவர்கள் அடிக்கடி கேட்கும் கேள்வி: "சார், இதைப் படிச்சு நான் எங்க போய் பயன்படுத்தப் போறேன்?" இதோ சில உதாரணங்கள்:
அ) கட்டிடக் கலை மற்றும் தச்சு வேலை:
ஒரு சுவர் நேராக 90 டிகிரியில் இருக்கிறதா என்று பார்க்க மேஸ்திரிகள் இன்றும் இந்த 3-4-5 விதியைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். ஒரு பக்கத்தில் 3 அடி, அடுத்த பக்கத்தில் 4 அடி அளந்து, குறுக்கே 5 அடி வந்தால் அந்தச் சுவர் கச்சிதமான செங்கோணத்தில் இருக்கிறது என்று அர்த்தம்.
ஆ) ஏணி கணக்குகள்:
சுவற்றில் இருந்து 6 அடி தள்ளி ஒரு ஏணியை வைக்கிறீர்கள். அந்தச் சுவர் 8 அடி உயரம் என்றால், உங்களுக்கு எவ்வளவு நீளமான ஏணி தேவை? ($6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. 100-ன் வர்க்கமூலம் 10. எனவே 10 அடி ஏணி தேவை!)
இ) ஜிபிஎஸ் (GPS) தொழில்நுட்பம்:
உங்கள் கூகுள் மேப்ஸ் நீங்கள் இருக்கும் இடத்தைக் கண்டறியவும், இரண்டு இடங்களுக்கு இடையே உள்ள குறுகிய தூரத்தைக் கணக்கிடவும் இந்தத் தேற்றத்தின் மேம்பட்ட வடிவத்தையே பயன்படுத்துகிறது.
4. பித்தகோரஸ் மும்மைகள் (Pythagorean Triples)
தேர்வில் நேரத்தை மிச்சப்படுத்த இந்த எண்களை மனப்பாடம் செய்து கொள்ளுங்கள்:
| பக்கம் 1 (a) | பக்கம் 2 (b) | கர்ணம் (c) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
5. மாணவர்களே! நீங்களே ஒரு சோதனை செய்து பாருங்களேன்!
ஒரு காகிதத்தை எடுங்கள். ஒரு பக்கத்தில் 6 செ.மீ, இன்னொரு பக்கத்தில் 8 செ.மீ இருக்குமாறு ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை வரையுங்கள். இப்போது அளவுகோலை (Scale) வைத்து அதன் சரிவான பக்கத்தை (கர்ணம்) அளந்து பாருங்கள். அது சரியாக 10 செ.மீ இருக்கிறதா? இருந்தால், நீங்களும் ஒரு பித்தகோரஸ் தான்!
முடிவுரை
பித்தகோரஸ் தேற்றம் என்பது வெறும் $a^2 + b^2 = c^2$ மட்டுமல்ல, அது இயற்கையின் வடிவியல் ரகசியம். இந்தப் பதிவு உங்களுக்குப் பிடித்திருந்தால், மீண்டும் மீண்டும் வந்து வாசியுங்கள். உங்களுக்கு ஏதேனும் சந்தேகம் இருந்தால் கீழே உள்ள கமெண்ட் பகுதியில் கேளுங்கள்.